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1+1=2:數學的原點


1+1=2 這個最簡單的公式,就像是一場人類誕生的“簡潔”慶典。發現世界上最簡單的公式1+1=2,意味著什麼?這個連三歲小孩都能秒懂的公式是人類文明誕生的起點,它昭示著自然數的誕生,引發持續數千年的數字大爆炸。數學創生的全部基本公理都蘊含其中。而它究竟從何而來,又將引領人類向何而去?人生識字憂患始,人類的所有煩惱,也是不是因為知道瞭1+1=2呢?從老祖先開始追溯早在遠古時代,我們的老祖先就在儲藏獵物、分配食物時,逐漸產生對數的感覺。當2隻牛、3隻羊、5隻豬擺在一塊,隻有這些東西可過冬時,強烈的求生欲使老祖先朦朧地意識到這其中有一種共性,並開始擺弄著自己僅有的10隻手指計數。然而,從這種原始的抽象感覺到具體的“數”的概念的形成,卻經歷瞭極其漫長的歷史歲月。因此,當某位古代先祖第一個意識到“1+1=2”,從而認識到兩個數相加得到另一個確定的數時,就發現瞭“數學”一個非常重要的性質——可加性,這是人類文明史上一個極其偉大的時刻。如同鉆木取火,1+1=2的最初使用也僅是迫不得已地為瞭生存,兩者同樣至少有著30萬年的歷史,造福人類,但自然數的形成卻遠比火的誕生有深遠影響。1+1=2,關於這個公式,最直觀涉及到的就是自然數和加法。我們已經無法考證,加法究竟是在何時被人類發明的,因為沒有足夠詳細的文獻記錄,甚至可能沒有文字。但加法的出現,無疑是為瞭在交換商品或戰俘時進行運算。“+”、“-”出現於中世紀。據說,當時酒商在售出酒後,曾用橫線標出酒桶裡的存酒,而當桶裡的酒又增加時,便用豎線條把原來畫的橫線劃掉,於是就出現用以表示減少的“-”和用來表示增加的“+”。最後直到1630年,“+”作為運算符號才得到大傢的公認。而關於自然數的出現,卻比“+”、“-”開始地更早,大約在1萬年以前,冰河退卻瞭。石器時代,那些馬背上的遊牧狩獵者,在中東的山內悄悄地開始瞭一種新的生活。他們摒棄掉兇橫獵殺的本性,開始乖乖下田,播種,進行農耕,這時,如何記錄日期、季節,如何計算收藏谷物數、種子數可難為住瞭這群四肢發達的壯漢。特別是在尼羅河谷、底格裡斯河與幼發拉底河流域,還發展起瞭更復雜的農業社會,這群剛進入新時代的農民還遇到瞭交納租稅的問題。顯然,過去石器部落文化裡總結的“一”、“二”、“三”、“多”已遠遠不夠用瞭,人們迫切需要“數”有名稱,而且計數必須更準確些。然而,沒有人見過自然數,也沒有人知道它是怎麼排列分佈的。它是用以計量事物的件數或表示事物次序的數,它的分佈或許是兜兜轉轉一個圈,或許是螺旋交錯纏繞式,或許是放射爆炸發散式的,不同選擇就會有不同的數學世界。但最終數學世界最後選擇的是圖1-1“1、2、3、4、5……”這樣一個不可逆的直線式的有序體系。圖1-1如何巧用皮亞諾公理證明?我們都知道1+1=2,但你是否有想過為什麼1+1就等於2呢?這個問題,不去深思還好,一深思就像雞生蛋還是蛋生雞這個難題一樣,會把你繞得雲裡霧裡,好在總會有那麼幾位具有哲學思維的數學傢愛孜孜不倦地去思考、證明它。而在這其中,意大利數學傢皮亞諾用公理把自然數安放在瞭數學世界裡面,用五條公理建立瞭一階算術系統,可以用來推導出“1+1=2”這一數學世界的原點。公理1:0是自然數。茫茫的數學宇宙裡,如圖1-2所示,從此有瞭第一個身影存在——0。圖1-2公理2:每一個確定的自然數a,都有一個確定的後繼數a',a'也是自然數。那麼,這個自然數起點“0”是怎麼爆發的呢?後繼陪伴者會以什麼樣的形式出現?調皮地圍著0四處發散,或是偷偷地跑到0的後面,亦或是狠心地留0一個數在那?公理2做出瞭選擇,讓偌大的數學空間中,出現的每個數都擁有著一個確定的後繼數陪伴著自己,如圖1-3:圖1-3公理3:0不是任何自然數的後繼數。為瞭避免後繼者不守規矩跑到0的跟前,公理3確定瞭0必須也隻能是自然數的第一個數。但是防不勝防,這群後繼者可能也沒那麼安分,他們還可能因為同一個姑娘爭風吃醋。也就是說,有可能3的後繼數3' = 3,也可能2的後繼數2' = 3。如下圖1-4,出現這種情況:圖1-4公理4:不同的自然數有不同的後繼數。為避免上述情況,公理4趕忙著出來定義,如果n與m均為自然數且n ≠ m,那麼n' ≠ m';如果b、c均為自然數,且b' = c' ,那麼b = c;同一個自然數的後繼數相等,不同自然數的後繼數不相等,這樣,3就不可能既是2的後繼數,也是3的後繼數瞭。但如果出現圖1-5裡2.5這樣的數呢?圖1-5為瞭幹掉2.5這樣非自然數的出現,公理5冒泡瞭。公理5:假定P(n)是自然數的一個性質,如果P(0)是對的,且假定P(n)是正確的,則P(n')也是真的,那麼命題對所有自然數都為真。它還有另外一種形式:設S是自然數集的一個子集,且滿足(i)0屬於S;(ii)如果n屬於S,那麼n'也屬於S;則S是包含全體自然數的集合,即S = N。這裡的說法可能會有點“繞”,讀者可能不是很理解。具體細剖,這是數學中的歸納公理,也就是說如果有一個自然數的性質,那麼所有自然數都將滿足這個性質,不滿足的就不是自然數。這樣,我們可以定義自然數系:存在一個自然數系N,稱其元素為自然數,當且僅當這些元素滿足公理1-5。再定義加法是滿足以下兩種規則的運算:1. 對於任意自然數m,0 + m = m;2. 對於任意自然數m和n,n' + m = (n + m)'。這樣,我們就可以證明1+1=2:1 + 1 = 0' + 1 = (0 +1)' = 1' = 2;或者,1 + 1 = 0' + 0' = 0'' = 2。或者,因為1+1的後繼數是1的後繼數的後繼數,即3;又因為2的後繼數也是3,根據皮亞諾公理4,不同自然數的後繼數不同,所以1+1=2。這樣,根據皮亞諾五條公理建立起來的皮亞諾一階算術系統,我們就推導出瞭1+1=2。哥德巴赫猜想另一個“(1+1)”推導出1+1為什麼等於2,並不能為難那些腦路清晰,異於常人的數學傢們。怎麼解決世間另一個“1+1”,這才是這群數學傢的心頭痛。哥德巴赫猜想,是數學皇冠上一顆可望不可即的“明珠”,堪稱世界近代三大數學難題之一。大概在18世紀左右,德國一富傢子弟哥德巴赫,厭倦瞭錦衣玉食的生活,不顧傢人阻攔,偏要跑去一名中學教師,還從此一發不可收拾地愛上數學,就連晚上回傢休息,也在搗鼓著阿拉伯數字。而他生平最喜歡玩的遊戲竟是加法運算,而且還在玩加法遊戲的過程中發現瞭一個奧妙:任何大於5的奇數都是三個素數之和。但令他無奈的是,他越玩越失敗,怎樣也無法證明自己的發現。後來,隻能求助於當時數學界的權威大咖歐拉。1742年6月7日,哥德巴赫寫信給歐拉,提出:任何大於5的奇數都是三個素數之和。隨便取個奇數77,可寫成三個素數之和,77=53+17+7;再任取一個奇數461,461=449+7+5,也是三個素數之和,461還可以寫成257+199+5,仍然是三個素數之和。沒想到獨眼巨人歐拉居然也被這個問題給為難住瞭,1742年6月30日,歐拉給哥德巴赫回信:這個命題看來是正確的,但是他也給不出嚴格的證明。為瞭挽回下自己居然也給不出證明的面子,狡猾的歐拉同時還提出瞭另一個等價命題:任何一個大於2的偶數都是兩個素數之和。但這個命題他也沒能給予出證明。而這樣一個“任一充分大的偶數,都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數,與另一個素因子不超過b個的數之和”命題,就被統記作“a+b”,哥德巴赫猜想(也稱哥德巴赫-歐拉猜想),也就被稱為另一個“(1+1)”。二進制世界裡的1+1在德國圖靈根著名的郭塔王宮圖書館,有一份彌足珍貴的手稿,它的標題為:“1與0,一切數字的神奇淵源。這是造物的秘密美妙的典范,因為,一切無非都來自上帝。”這是德國天才大師萊佈尼茨的手跡,他用幾頁異常精煉的描述,發明瞭一個神奇美妙的數字系統——二進制,他告訴我們,1 + 1 ≠ 2,在計算機代碼世界裡,1 + 1 = 10。二進制是計算技術中廣泛采用的一種數制。二進制數據是用0和1兩個數碼來表示的數。它的基數為2,進位規則是“逢二進一”,借位規則是“借一當二”。當前的計算機系統使用的基本上就是二進制系統,數據在計算機中主要是以補碼的形式存儲的。可以說,從20世紀第三次科技革命爆發以來,人類就開始進入瞭計算機時代,我們在虛擬的網絡裡遊戲、社交、狂歡。到現在21世紀,開始致力於人工智能的開發,而這些東西本質上都是由計算機實現的。而未來,完全身處於數字時代的我們,必將被二進制代碼全身籠罩,這個世界,1+1就隻可能等於2嗎?結語回到最初的原點不管是現實生活中簡明易懂的1 + 1 = 2,或是數論世界裡令人絞盡腦汁的“1 + 1”,還是虛擬世界裡的1+1=10,都以其自身的客觀性和普適性在時間的歲月裡不證自明,讓人類能以其為始,在接受這些公式和定理的條件下,繼續用理性的方法推導衍生出萬事萬物。並在萬事萬物中,能輕易地窺視其蹤跡。欲罷不能的王者榮耀是由0和1的代碼編寫運行;置放蘋果的天秤則完全滿足可加性的量;總質量總是等於每個物體的質量之和;……1+1=2撐起瞭人類理性世界的基本運轉,跨越人類文明始終,不需要名稱,不需要翻譯,也不需要解釋。它無處不在,藏匿於天地之間,本身就擁有著妙不可言的美感。來源:量子學派編輯:aki

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